Isométries vectorielles

Questions sur le chapitre et les exercices concernant les isométries vectorielles

Des questions sur l'exercice 1?

Bonjour,
question vis à vis de l'exercice sur lequel j'ai travaillé pour le DS. Dans mon exercice on obtenait une matrice de 0(3) qui était en fait une rotation d'angle pi. A partir du moment où l'on a obtenu que la rotation est d'angle pi avec le calcul du cosinus via la trace, sommes nous obligé de calculer le signe du sin sachant qu'il sera nul ?

Tom Dupont a écrit:Bonjour,
question vis à vis de l'exercice sur lequel j'ai travaillé pour le DS. Dans mon exercice on obtenait une matrice de 0(3) qui était en fait une rotation d'angle pi. A partir du moment où l'on a obtenu que la rotation est d'angle pi avec le calcul du cosinus via la trace, sommes nous obligé de calculer le signe du sin sachant qu'il sera nul ?

Effectivement lorsque l'on a une rotation de l'espace et que l'on a trouvé que la trace vaut -1 (et donc que le cos theta vaut -1), on n'est pas obligé de calculer le signe de sin(teta) : sin(theta) vaut obligatoirement 0....
Mais en fait si vous aviez regardé plus précisément la matrice de départ, vous auriez vu qu'elle était symétrique.... Mais comme elle est aussi orthogonale, c'est une matrice de symétrie orthogonale (donc diagonalisable en base orthonormée et les valeurs propres sont dans {-1,1}). Comme det(A)>0 le sep associé à la valeur propre -1 est pair : soit c'est 0 (mais dans ce cas A = I_3 et vous l'auriez vu, soit c'est 2 auquel cas on obtient une symétrie orthogonale d'axe une droite.... donc un demi-tour ou une rotation d'angle pi...